Графики функций
Подготовься к заданиям 11 и 22 ОГЭ за минимальные сроки!
Свойства функций
Мы знакомы с примерами функций и способами их задания. Рассмотрим понятия области определения и области значения функции, а также свойства функции.
1. Область определения и область значений функции
Найти область определения функции можно как по формуле, задающей функцию, так и по графику.
1. Область определения и область значений функции
Найти область определения функции можно как по формуле, задающей функцию, так и по графику.
Определение:
Область определения функции — это допустимые значения независимой переменной (переменной x). Обозначается область определения функции D(f).
Область определения функции — это допустимые значения независимой переменной (переменной x). Обозначается область определения функции D(f).
Чтобы лучше понять что такое область определения функции рассмотрим несколько примеров.
Если функция задана аналитически:
Если функция задана аналитически:
Задание: Найти область определение функции y=f(x) если она задана аналитически
Найти область определения функции, если она задана формулой:
1) y=12x+7
2)f(x)=(5x-3)/(8x-16)
Решение
Функция задана формулой значит, для того чтобы найти ее область определения, нужно ответить на вопрос: "Какие значения можно подставлять в формулу вместо х?"
1) В формулу функции вместо х можно подставлять любые действительные числа. Значит область определения функции - любые действительные числа. Записывают следующим образом:
1) В формулу функции вместо х можно подставлять любые действительные числа. Значит область определения функции - любые действительные числа. Записывают следующим образом:
D(y)=(-ထ; +ထ)
2) Поскольку знаменатель функции не должен равняться нулю:8x-16≠0
х≠2
Значит, D(y)=(-ထ; 2)U(2; +ထ)Найти область определения функции если она задана графически еще проще, для этого необходимо обратить внимание на то, какие значения принимает "х" на графике. Попробуйте выполнить задание самостоятельно, а затем сравните с решением.
Задание: Найти область определения функции y=f(x), если она задана графически
Решение
По графику видно что D(f)=[-7;7]
Далее рассмотрим понятие область значений функции
Определение:
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. Обозначается область значений функции E(f).
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. Обозначается область значений функции E(f).
Рассмотрим примеры на нахождение области определения если функция задана аналитически и графически.
Задание: Найти область значений функции y=f(x), если она задана аналитически
1) y=6x+8
2) y=|x-5|
2) y=|x-5|
Решение
Для того чтобы найти область значений функции необходимо ответить на вопрос: " какие значения может принимать у"
1) Если вместо х любое действительное число, то у, в данном случае, также может принимать любые значения, следовательно
E(y)=(-ထ; +ထ)
2) Так как, при подстановке любого действительного числа вместо х, функция (у) из-за модуля будет принимать только неотрицательные значения, то
E(y)=[0; +ထ)
Для нахождения области значений функции, если она задана графически необходимо обратить внимание на то, какие значения принимает "у" на графике. Попробуйте выполнить задание самостоятельно, а затем сравните с решением.
Задание: Найти область значений функции y=f(x), если она задана графически
Решение
По графику видно что E(f)=[-7;7]
2. Нули функции
Нули функции можно найти как по формуле, задающей функцию, так и по графику.Определение:
Нули функции– это значение аргумента, при которых функция обращается в ноль.
Нули функции– это значение аргумента, при которых функция обращается в ноль.
Если необходимо найти нули функции по графику, то нужно определить точки пересечения графика с осью ОХ:
На данном примере график функции пересекает ось ОХ при х=-4; х=5,5 и х=8. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Обратите внимание!:
Обратите внимание!:
Существуют функции, которые не будут иметь точек пересечения с осью ОХ, следовательно нулей у такой функции нет
Для того чтобы найти нули функции заданной аналитически нужно:
- Прировнять "у" к нулю
- Решить получившееся уравнение
Задание: Найти нули функции y=f(x), если она задана аналитически
а. y=-11х+22
б. y=(х+76)(х-95)
б. y=(х+76)(х-95)
Решение
а. y=-11х+22
1) у=0
т.е:
б. y=(х+76)(х-95)
1) у=0
получим:
1) у=0
т.е:
-11х+22=0
2) Решим получившееся уравнение-11х+22=0
-11х=-22
х=2
Ответ: 2б. y=(х+76)(х-95)
1) у=0
получим:
(х+76)(х-95)=0
2) Решим уравнение(х+76)(х-95)=0
х+76=0 или х-95=0
х=-76 х=95
Ответ: -76; 95
3. Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства функции также можно определить как по формуле, задающей функцию, так и по графику.Определение:
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Если необходимо найти промежутки знакопостоянства у функции заданной графически, то достаточно определить по графику где функция принимает положительные и отрицательные значения. Для примера возьмем график функции для которой мы находили нули функции :
На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-8; -4) U (-4; 5,5) U (8;9] , которые расположены выше оси ОХ. Зеленым цветом выделены части графика в промежутке (5,5 ; 8) который расположен выше оси х.
Значит, что в промежутках [-8; -4) U (-4; 5,5) U (8;9] функция принимает положительные значения, а в промежутке (5,5 ; 8) она принимает отрицательные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.
Что делать если функция задана аналитически?
Чтобы определить знаки постоянства достаточно понимать как решаются неравенства и запомнить алгоритм:
Значит, что в промежутках [-8; -4) U (-4; 5,5) U (8;9] функция принимает положительные значения, а в промежутке (5,5 ; 8) она принимает отрицательные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.
Что делать если функция задана аналитически?
Чтобы определить знаки постоянства достаточно понимать как решаются неравенства и запомнить алгоритм:
- Рассматриваем случай когда у>0
- Решаем получившееся неравенство, полученный промежуток показывает при каких "х" функция положительна
- Аналогично рассматриваем случай у<0
- Решаем неравенство, полученный промежуток показывает при каких "х" функция отрицательна
Задание: Определить промежутки знакопостоянства функции y=f(x), если она задана аналитически
а. y=-11х+22
б. y=|x+14|
б. y=|x+14|
Решение
а. y=-11х+22
1) y>0
Следовательно
Следовательно
б. y=|x+14|
1) y>0
Следовательно
Следовательно
1) y>0
Следовательно
-11х+22>0
2)-11(x+2)>0
x+2<0
x<-2
3) y<0Следовательно
-11х+22<0
4)-11(x+2)<0
x+2>0
x>2
Ответ: Функция положительна (у>0) при х∈ (-∞;-2)
Функция отрицательна (у<0) при х∈ (-2;+∞)
б. y=|x+14|
1) y>0
Следовательно
|x+14|>0
2) |x+14|>0Неравенство верно при любых "х" кроме х=-14
3) y<0Следовательно
|x+14|<0
4) |x+14|<0Неравенство неверно при любых "х"
Ответ: Функция положительна (у>0) при х∈ (-∞;-14) U (-14;+∞)
Функция не принимает отрицательных значений
4. Монотонность
В курсе средней школы монотонность функции будем определять исключительно по ее графическому заданию, но в старших классах промежутки возрастания и убывания можно определить и аналитически с помощью производнойОпределение:
Функцию у=f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2)
Функцию у=f(x) называют убывающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2)
Функцию у=f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2)
Функцию у=f(x) называют убывающей на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 промежутка, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2)
Иными словами формальное определение можно интерпретировать следующим образом:
Функция называется возрастающей на промежутке если график визуально "идет наверх", аналогично функция называется убывающей если график визуально "идет вниз".
В качестве примера найдем промежутки монотонности графика функции, рассматриваемого выше:
Функция называется возрастающей на промежутке если график визуально "идет наверх", аналогично функция называется убывающей если график визуально "идет вниз".
В качестве примера найдем промежутки монотонности графика функции, рассматриваемого выше:
На рисунке голубым цветом выделены части графика в промежутках (-4; 1) U (7;9) на которых график функции возрастает. Розовым цветом выделены части графика в промежутке (-8 ; 4) U (1;7) на которых график функции убывает. Это и есть промежутки монотонности исходной функции.
5. Четность и нечетность
Исследовать функцию на четность и нечетность можно как аналитически так и графически. Рассмотрим определения четной и нечетной функции, а также алгоритмы для ее проверки.Определение:
Функцию у=f(x) называют четной, если для любого значения "х" выполняется равенство f(-x)=f(x)
Функцию у=f(x) называют нечетной, если для любого значения "х" выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Функцию у=f(x) называют четной, если для любого значения "х" выполняется равенство f(-x)=f(x)
Функцию у=f(x) называют нечетной, если для любого значения "х" выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Важно!
Существуют четные функции, нечетные функции, а также функции которые не являются ни четными, ни нечетными.
Не существует функций которые одновременно являются четными и нечетными
Если функция y=f(x) задана аналитически, то для ее исследования на четность и нечетность применим следующий алгоритм:
Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной;
Если ни первое, ни второе условие не выполняется то функция не является ни четной, ни нечетной.
Рассмотрим пример:
- Записать выражение y=f(-x). Для этого необходимо в формуле задания функции заменить "х" на "-х";
- Сопоставить выражения f(-x) и f(x):
Если f(-x) = -f(x), то функция является нечетной;
Если ни первое, ни второе условие не выполняется то функция не является ни четной, ни нечетной.
Рассмотрим пример:
Задание: Исследовать функцию y=f(x) на четность и нечетность, если она задана аналитически
а. y=-11х+22
б. y=|x|
б. y=|x|
Решение
а. y=-11х+22
1) f(-x)= -11·(-x)+22=11х+22
2) Сравним f(x) и f(-x)
-11х+22 ≠ 11х+22, то есть f(-x) ≠ f(x)
-11х+22 ≠ -(-11х-22), то есть f(-x) ≠ -f(x)
Значит, функция не является четной и не является нечетной
б. y=|x|
1) f(-x)=|-x|
2) Сравним f(x) и f(-x)
|x|=|-x|, то есть f(-x) = f(x)
Значит функция является четной
1) f(-x)= -11·(-x)+22=11х+22
2) Сравним f(x) и f(-x)
-11х+22 ≠ 11х+22, то есть f(-x) ≠ f(x)
-11х+22 ≠ -(-11х-22), то есть f(-x) ≠ -f(x)
Значит, функция не является четной и не является нечетной
б. y=|x|
1) f(-x)=|-x|
2) Сравним f(x) и f(-x)
|x|=|-x|, то есть f(-x) = f(x)
Значит функция является четной
Если функция y=f(x) задана графически, то для ее исследования на четность и нечетность будем применять следующие правила:
Четная и нечетная функция y=f(x) имеет симметричную область определения D(f)
Если график функции y=f(x) симметричен относительно оси ординат, то y=f(x) - четная функция
Например:
Четная и нечетная функция y=f(x) имеет симметричную область определения D(f)
Если график функции y=f(x) симметричен относительно оси ординат, то y=f(x) - четная функция
Например:
Если график функции y=f(x) симметричен относительно начала координат, то y=f(x) - четная функция
Например:
Например:
На этом рассмотрение свойств функций закончено. Помимо тех свойств, которые разобраны в данном разделе существуют и другие, такие как ограниченность и неограниченность функции, периодичность функции и так далее, которые в курсе алгебры 7-9 класса не рассматриваются.
