Графики функций
Подготовься к заданиям 11 и 22 ОГЭ за минимальные сроки!

Кусочно заданная функция

Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции.
Определение:
Кусочно-заданная функция - это функция определенная на множестве действительных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: Как Вы считаете является ли данная функция кусочно заданной?
Решение:
Данная функция является кусочно- заданной поскольку задана отдельной формулой на разных интервалах 
Данный пример является одним из самых простых, но кусочно заданная функция может быть задана не так явно. То есть, для того, чтобы функция была задана в явном виде, необходимо еще выполнить некоторые преобразования.
Пример 2: Определите вид функции

y=|x-10|

Решение:
В данном случае значение "y" зависит от подмодульного выражения, следовательно модуль необходимо раскрыть:
В таких задачах будем рассматривать 2 случая: когда подмодульное выражение больше или равно 0 и меньше 0.
1 случай

х-3 ≥0 то есть х≥3

Тогда y=х-3

2 случай

х-3 <0 то есть х>3

Тогда y=-(х-3)=3-x

Для разных интервалов Мы получили разные формулы, которыми задается функция.
Значит исходная функция является кусочно - заданной.

Свойства

Свойства степенной функции зависит от того, из каких частей она состоит. Соответственно на разных интервалах области определения свойства будут разные.

Таким образом чтобы определить свойства кусочно-заданной функции необходимо изучить свойства функций из которых она складывается (см. страницу свойства функций)

Построение кусочно - заданной функции

Чтобы построить график кусочной функции, нужно:
  1. Провести прямые x=a1, x=a2, x=an, где an - граничные точки,
  2. На каждой составляющей области определения (ai, ai+1), где i=1…n выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей.
  3. Построить в одной системе координат графики входящих функций,
  4. Выяснить значение функции в граничных точках.
Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть её кусочно-линейной функцией
Рассмотрим пример:
Решение:
1) В соответствии с алгоритмом проводим прямые х=0, х=2
2) На промежутке х ∈(-∞; 0) график принимает вид: y=2x+1
На промежутке х ∈ [0;2) график принимает вид: y=-1,5x+1
На промежутке х ∈ [2;+∞) график принимает вид: y=x-4
3) Строим в одной системе координат (алгоритм построения линейной функции в разделе Линейная функция -> Построение)
4) Находим значение в граничных точках:
х=0 соответствует второй строчке, получим y=-1,5x+1=-1,5*0+1=1
х=2 соответствует третьей строчке, получим y=х-4=2-4=-2
Рассмотрим пример посложнее. Здесь кусочно-заданная функция представлена не в явном виде и требует преобразований:
Пример 2: Постройте график функции и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком три общие точки
Раскроем модуль и приведем подобные слагаемые:
Получили 2 интервала, на каждом из которых необходимо построить параболу. В данном случае будем использовать метод выделения полного квадрата.

Обратите внимание!

Построить параболу вы можете любым удобным для вас способом. См. страницу "Квадратичная функция" -> "Построение"

Прямая y=c имеет с построенным графиком ровно три общие точки при с=0 и при с=-1

Ответ: график функции изображён на рисунке; прямая y=c имеет с построенным графиком ровно три общие точки при с=0 и при с=-1

Решение задач ОГЭ

Made on
Tilda