Степенная функция

Степенная функция не встречается в банке заданий ОГЭ, но она изучается в курсе алгебры 9 класса. Так как данная функция изучается не так глубоко как предыдущие, то и мы не будем рассматривать ее подробно, достаточно  ознакомиться с ее определением, свойствами и методом построения.

Ранее мы уже изучали степенные функции, например линейная функция при k=1 и b=0, то есть у=х, рассмотрим определение степенной функции:

Геометрический смысл коэффициента n

Вид графика зависит от коэффициента n, рассмотрим 2 случая: n - четное и нечетное.

Если n - четное, то график будет меняться следующим образом:

Если же n - нечетное, то вид графика будет немного другим:

Свойства степенной функции

1) Область определения и область значений

Аналитическое задание функции имеет смысл при любом значении х. Поэтому областью определения степенной функции с натуральным показателем является любое действительное число.

D(f)=(-∞;+∞)

Область значений функции:

Если n - четное, то область значений функции есть множество неотрицательных чисел

E(f)=[0 ;+∞)

2) Нули функции

Степенная функция пересекает ось ОХ в точке

х=0

3) Промежутки знакопостоянства

Если n - четное, то функция принимает положительные значения при

x ∈ (-∞; 0) U (0;+∞)

Если n - нечетное, то функция принимает положительные значения при

x ∈ (0;+∞)

Если n - нечетное, то функция принимает отрицательные значение при

x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Если n - четное, то функция возрастает на промежутке x ∈ (0;+∞) и убывает на промежутке x ∈ (-∞;0)

Если n - нечетное, то функция возрастает на всей области определения

5) Четность и нечетность

Если n - четное, то функция является четной

Если n - нечетное, то функция является нечетной

Построение степенной функции

1) Определяем в каких четвертях будет находится график

2) Вне зависимости от n график степенной функции проходит через точки с координатами (0;0) и (1;1), отмечаем их на координатной плоскости

3) Находим значение функции еще для двух значений х, первое желательно взять из промежутка (0;1), второе больше 1, отмечаем на координатной прямой

4) Соединяем точки плавной линией

Если n - четное, то вторую ветвь строим симметрично оси ОХ, если n - нечетное, то симметрично относительно начала координат

Обратите внимание!

Вместо четвертого пункта можно выполнить пункт 3 аналогично для отрицательных значений х

В соответствии с алгоритмом выше попробуйте построить график степенной функции самостоятельно, сравните Ваш график с ответом

На этом изучение основных функций окончено, Вам осталось только разобраться с понятием кусочно-заданной функцией в которой могут встречаться те функции, которые мы рассмотрели ранее.