Линейная функция

После изучения понятия функции и ее свойств, мы переходим к линейной функции, также ее называют прямой пропорциональностью

Рассмотрим пример определения коэффициентов k и b для заданной линейной функции

Проиллюстрируем влияние значений коэффициентов на внешний вид графика.

Геометрический смысл коэффициента k

— угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, чем больше k, тем больше угол наклона и ближе прямая к оси . Если k<0, то прямая будет располагаться в 2 и 4 четвертях, если k>0, то в 1 и 3 четвертях.

Проиллюстрируем влияние значений коэффициентов на внешний вид графика.

Геометрический смысл коэффициента b

— длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат. Иными словами, график проходит через точку (0;b). Если координата b=0, то прямая проходит через начало координат

Свойства линейной функции

1) Найдем область определения и область значений функции

Так как область определения функции — это допустимые значения независимой переменной, то задача заключается в том, чтобы понять есть ли у линейной функции ограничения на значение переменной "х" . Давайте обратим внимание на аналитическое задание y=kx+b, проанализировав данное выражение можно сделать вывод: "х" может принимать любые действительные значения, следовательно:

D(f)=(-∞;+∞).

Аналогично найдем область значений функции - "у" может принимать любые действительные значения, следовательно:

Е(f)=(-∞;+∞).

2) Найдем нули функции

Если y=0, то получим уравнение kx+b=0, откуда

x=-b/k

Значит функция пересекает ось ОХ в точке (-b/k ; 0)

3) Определим промежутки знакопостоянства

Для определения промежутков знакопостоянства воспользуемся алгоритмом выведенным ранее ( Свойства функций → Знакопостоянства):

а) Функция принимает положительные значения: kx+b>0

x>-b/k

б) Функция принимает отрицательные значения: kx+b<0

x<-b/k

4) Определим промежутки монотонности линейной функции

Рассмотрим 2 случая:

1 случай: k>0

Функция возрастает при x ∈ (-∞; +∞)

2 случай: k<0

Функция убывает при x ∈ (-∞; +∞)

5) Проверим функцию на четность и нечетность

f(-x)=-kx+b

Функция не является четной и не является нечетной если k ≠ 0 и b ≠ 0

Если k=0, то функция является четной

Если k ≠ 0 и b=0, то функция является нечетной

Построение линейной функции

Так как графиком функции является прямая линия, функцию называют линейной.

Из геометрии вспомним аксиому которая говорит о том, что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этого следует, что чтобы построить график функции вида y=kx+b нам достаточно будет найти всего две точки.

Задание: Построить график функции у=-2х+1

Решение: Найдем значение функции "у"" для двух произвольных значений "х". Подставим, например, вместо "х" числа 0 и 1, подсчитаем "у" для этих значений :

Полученные значения "x" и "y" — это координаты точек графика функции. Отмечаем их на координатной плоскости, проводим прямую и получаем исходный график.

Примеры решения задач ОГЭ

Решение типовых задач ОГЭ рассмотрим в видео