Гипербола
Изучение функции начнем, как обычно с определения:
Геометрический смысл коэффициента k:
— отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто«поворачивает»
Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:- Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях
- Если k<0, то ветви гиперболы расположены в II и IV четвертях
Геометрический смысл коэффициента a:
— если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что "a" – это такое число, которому не может равняться "x". Таким образом x=a– это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции.Иначе говоря, коэффициент "а" отмечает за сдвиг гиперболы влево и вправо, при этом
Если k>0
- a>0, то гипербола сдвигается влево;
- a<0, то гипербола сдвигается вправо;
- a<0, то гипербола сдвигается влево;
- a>0, то гипербола сдвигается вправо;
Геометрический смысл коэффициента b:
— отвечает за смещение графика функции вверх и вниз
Аналогично коэффициенту b у линейной функции и коэффициенту с квадратичной функции:
- Если b>0, то гипербола смещается вверх на b единиц;
- Если b<0, то гипербола смещается вниз на b единиц.
Свойства гиперболы
1) Область определения и область значений
По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:
D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)
Область значений
Е(f)=(-∞;+∞)
2) Нули функции
Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;
Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*
x=-(k+ab)/b
3) Промежутки знакопостоянства
Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство
Случай 1: a=0, b=0, k>0
f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)
f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)
Случай 1: a=0, b=0, k<0
f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)
f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)
4) Промежутки монотонности
Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая
Случай 1: a=0, b=0, k>0
Функция убывает при
x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)
Функция возрастает при
x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)
5) Четность и нечетность
Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x
Построение
Рассмотрим алгоритм построения гиперболы на примере 1:
y=4/x
1) Определяем расположение гиперболы на координатной оси
Поскольку k=4, то есть k>0, то гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях
2) Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений "x" и "y". То есть мы берем конкретное значение "x", подставляем его в формулу функции и получаем "y".
Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными линиями, которые будут стремиться к осям координат. В итоге получится ветви гиперболы, расположенная в первой и третьей четверти четверти.
Пример 2:
Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:
Решение:
Первый метод построения представлен в примере 1, достаточно определить четверти в которых находится график, составляем таблицу для х и у, отметить эти точки на координатной плоскости и соединить плавными линиями
Составим таблицу значений х и у, отметим их на координатной плоскости, соединим получившиеся точки.
Обратите внимание!
Синими линиями мы обозначили асимптоты графика y=4, x=3
Второй способ заключается в том, что для начала необходимо построить график функции y=k/x (то есть прировнять коэффициенты a и b к нулю. Далее, опираясь на влияние значений коэффициентов на график, сместить его влево или вправо и вверх или вниз.
Рассмотрим построение гиперболы вторым методом на этом же примере
- k<0, значит график будет располагаться во II и IV четвертях.
- Составим таблицу значений х и у
- Отметим получившиеся точки на координатной плоскости
- Соединим точки двумя плавными линиями
- Сместим график на 4 единицы вверх
- Сместим график на 3 единицы вправо
Далее мы переходим к рассмотрению заданий типа ОГЭ
Решение задач ОГЭ
Решение типовых задач ОГЭ рассмотрим в видео
