Рассмотрим влияние значений коэффициентов на внешний вид графика.

Геометрический смысл коэффициента a

— старший коэффициент, который отвечает за ширину, а также направление ветвей параболы. Чем больше значение коэффициента, тем ближе расположены верви к оси симметрии.

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

• Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх.
• Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Геометрический смысл коэффициента b

— второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат. Т.е. перемещение влево и вправо.

Геометрический смысл коэффициента c

— свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат. Т.е отвечает за перемещение параболы вверх и вниз.

Свойства квадратичной функции

D(f)=(-∞;+∞)

Область значений квадратичной функции (значения которые может принимать "у")

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Для того чтобы найти нули функции необходимо "y" прировнять к нулю. Получим квадратное уравнение стандартного вида, следовательно количество точек пересечения графика с осью ОХ зависит от дискриминанта:

• Если D<0, то уравнение не имеет корней и график не имеет точек пересечения с осью ОХ, то есть находится выше оси ОХ при a>0 и ниже оси ОХ при a<0
• Если D=0, то уравнение имеет один корень и одну точку пересечения с ОХ, исходя из этого делаем вывод о том, что вершина параболы находится на оси ОХ
• Если D<0, то уравнение имеет 2 корня и соответственно 2 точки пересечения с ОХ

3) Промежутки знакопостоянства квадратичной функции

Рассмотрим несколько случаев, которые зависят от знаков коэффициентов и количества нулей функции:

1 случай

a) a>0, D<0

Ветви параболы направлены вверх, точек пересечения с ОХ нет, следовательно f(x) >0, при любых "х", таким образом f(x) >0 при х ∈ (-∞;+∞)

б) a>0, D=0

2 случай

a) a<0, D<0

Ветви параболы направлены вниз, точек пересечения с ОХ нет, следовательно f(x) <0, при любых "х", таким образом f(x) <0 при х ∈ (-∞;+∞)

б) a<0, D=0

f(x) >0, при х ∈ (х1;х2)

На рисунке красным цветом выделены положительные части графика, синим отрицательные

Построение графика

Метод 1

1. Определяем направление ветвей параболы в зависимости от коэффициента a
2. Определяем координаты вершины параболы по формуле
3. Находим нули функции, прировняв "у" к нулю
4. Строим график функции исходя из первых 3-х пунктов

Метод 2

Второй метод выполняется с помощью выделения полного квадрата. Иными словами, необходимо преобразовать аналитическое задание функции к определенному виду.

Решение задач ОГЭ

Решение типовых задач ОГЭ рассмотрим в видео